ค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือที่เราเรียกกันย่อๆ ว่าค่าเฉลี่ย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (x¯)$(\overline{x})$ เป็นค่ากลางทางสถิติค่าหนึ่ง ที่เจอบ่อยและใช้เยอะมาก

หลักการการหาค่าเฉลี่ยง่ายๆ  คือ เอาค่าทั้งหมดที่มีรวมกัน แล้วนำมา หารด้วย จำนวนของข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่จะมีลักษณะเป็นตัวๆ คือ x1,x2,⋯,xn$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ  

x1+x2+⋯+xnn$$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบไม่แจกแจงความถี่

สมมุติข้อมูลคือ 1,2,2,5,7,11,15,9$1,2,2,5,7,11,15,9$ ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 

1+2+2+5+7+11+15+98==5286.5$$\begin{array}{rcl}\frac{1+2+2+5+7+11+15+9}{8}& =& \frac{52}{8}\\ & =& 6.5\end{array}$$

6.5$6.5$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่

ข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ ข้อมูลที่ให้มาเป็นช่วงไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่ เช่น ในช่วง 21−30$21-30$ มีจำนวน 10$10$ คน เราไม่สามารถบอกได้ว่าใน 10$10$ คนนี้แต่ละคนมีค่าเท่าใด แล้วเราจะหาผลรวมได้ยังไง?

เนื่องจากเราเชื่อว่าในช่วง 21−30$21-30$ นั้นย่อมมีทั้งคนที่ได้คะแนนมากและน้อยอยู่รวมกัน จึงใช้วิธีที่บอกว่าแต่ละตัวมากน้อยเท่าไหร่ไม่รู้ แต่สุดท้ายต้องเอามารวมกันอยู่ดี เราเลยประมาณได้ว่าทุกตัวมีค่าอยู่ตรงกลางพอดี

ดังนั้นถ้าเราให้ xi$x_i$ แทนจุดกึ่งกลางชั้นที่ i$i$ และ fi$f_i$ แทนความถี่ในชั้นนั้น จะได้ว่าในชั้นนั้นมีผลรวมเท่ากับ xifi$x_i{f}_i$

จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

x1f1+x2f2+⋯+xkfkn=∑ki=1xifin$$\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\cdots +x_k{f}_k}{n}={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^k{x}_i{f}_i}{n}}$$

เมื่อข้อมูลมีทั้งหมด k$k$ ชั้น และมีจำนวนทั้งหมด n$n$ ตัว

ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแบบเจกแจงความถี่

สมมุติข้อมูลที่กำหนดให้คือ

คะแนน	จำนวน นักเรียน
31-40	5
41-50	10
51-60	8
61-70	2

 จากข้อมูลจะได้

คะแนน	จำนวน นักเรียน (fi)$(f_i)$	xi$x_i$	xifi$x_i{f}_i$
31-40	5	35.5	177.5
41-50	10	45.5	445
51-60	8	55.5	444
61-70	2	65.5	131

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

177.5+445+444+1315+10+8+2==1197.52547.9$$\begin{array}{rcl}\frac{177.5+445+444+131}{5+10+8+2}& =& \frac{1197.5}{25}\\ & =& 47.9\end{array}$$

47.9$47.9$

สูตรลดทอนในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เมื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่แล้วนั้นจะเห็นว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่อัตภาคชั้นแต่ละชั้น เป็นจำนวนที่มีค่ามาก ๆ จะต้องคิดเลขเยอะมาก ซึ่งนอกจากจะน่าเบื่อในการคิดเลขแล้ว ยังทำให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย เราจึงมีสูตรลดทอนที่ทำให้การคิดเลขน้อยลง

นั้นคือ

x¯=a+I∑ki=1difin$$\overline{x}=a+I\frac{\sum _{i=1}^k{d}_i{f}_i}{n}$$

เมื่อ di=xi−aI$d_i=\frac{x_i-a}{I}$ และ k$k$ เป็นจำนวนอัตราภาคชั้น

โดยกำหนดให้ a$a$ เป็นค่ากลางสมมุติ จะเลือกจากจุดกึ่งกลางชั้นชั้นใดก็ได้ แต่นิยมใช้ชั้นที่มีความถี่สูงสุด หรือชั้นที่อยู่ตรงกลาง

เมื่อIแทนความกว้างของอัตราภาคชั้นfiแทนความถี่ของแต่ละอัตรภาคชั้นnแทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด$$\begin{array}{rl}\text{เมื่อ}& I\text{แทนความกว้างของอัตราภาคชั้น}\\ & f_i\text{แทนความถี่ของแต่ละอัตรภาคชั้น}\\ & n\text{แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด}\end{array}$$

จากสูตรการลดทอนข้างบน จะดูเหมือนกับว่าสูตรจำยากมาก แต่จริงๆ  แล้ว ส่วนมากข้อสอบที่ออกจะมีความกว้างอัตรภาคชั้นที่เท่ากันทั้งหมดทำให้การหา di$d_i$ นั้นง่ายมาก เพียงแค่ยึดอัตราภาคชั้นที่เราสมมุติให้มีค่ากลางอยู่มีค่า d=0$d=0$ หลังจากนั้น ถ้าชั้นด้านล่างให้ลบหนึ่งไปเรื่อย ๆ ถ้าชั้นด้านบนให้บวกหนึ่งไปเรื่อย ๆ แค่นั้นเอง

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากสูตรลดทอน

จากข้อมูลที่กำหนดให้จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ความสูง (ซม.)	จำนวนคน
151-155	5
156-160	20
161-165	37
166-170	23
171-175	18
175-180	2

จากข้อมูลเลือกจุดกึ่งกลางชั้นที่ต้องการให้เป็นค่ากลางสมมุติ

ในข้อนี้สังเกตุว่าไม่มีชั้นที่อยู่ตรงกลางพอดี ดังนั้นให้เลือกชั้นที่อยู่เกือบกลางและความถี่สูงสุด นั้นคือชั้นที่ 3$3$ ดังนั้นค่า a=163$a=163$

จากนั้นให้สร้างตารางใหม่คือ

ความสูง (ซม.)	จำนวนคน	di$d_i$
151-155	5	-2
156-160	20	-1
161-165	37	0
166-170	23	1
171-175	18	2
176-180	2	3

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

x¯===≈=163+(−2)(5)+(−1)(20)+(0)(37)+(1)(23)+(2)(18)+(3)(2)5+20+37+23+18+2163+−10−20+0+23+36+6105163+35105163+0.333163.333$$\begin{array}{rcl}\overline{x}& =& 163+\frac{(-2)(5)+(-1)(20)+(0)(37)+(1)(23)+(2)(18)+(3)(2)}{5+20+37+23+18+2}\\ & =& 163+\frac{-10-20+0+23+36+6}{105}\\ & =& 163+\frac{35}{105}\\ & \approx & 163+0.333\\ & =& 163.333\end{array}$$

163.333$163.333$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก

ปกติเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตหลักการคือเอาทุกตัวมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนตัวทั้งหมด จริง ๆ แล้ววิธีที่เราพูดถึงก็เป็นการถ่วงน้ำหนักเหมือนกัน แต่เป็นการถ่วงน้ำหนักที่ทุกตัวมีน้ำหนักเท่ากันคือ 1$1$ 

หลักการคิด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก เป็นการคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ให้ความสำคัญของข้อมูลแต่ละตัวไม่เท่ากันตัวไหนสำคัญมากน้อย ขึ้นอยู่กับน้ำหนักที่ให้ 

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักที่พบบ่อยมาก คือ การคิดเกรดเฉลี่ย เนื่องจากเวลาคิดเกรดเฉลี่ยเราจะให้ความสำคัญของแต่ละวิชาไม่เท่ากัน 

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก

นักเรียนคนหนึ่ง ได้ทำการทดสอบจำนวน 4$4$ วิชา ซึ่งผลการทดสอบที่ได้คือ

วิขา	น้ำหนัก	เกรด
คณิตศาสตร์	2.5$2.5$	3.0$3.0$
ภาษาไทย	2$2$	4.0$4.0$
วิทยาศาสตร์	2.5$2.5$	3.5$3.5$
ศิลปะ	1$1$	4.0$4.0$

จงหาเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้

ปกติถ้าโจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเราจะเอาเกรดทั้งหมดบวกกันแล้วหารด้วย 4$4$ ซึ่งสำหรับข้อนี้จะทำให้ผิด 
เพราะว่าวิชาศิลปะมีผลในการคิดเกรดเฉลี่ยน้อยมาก 

ดังนั้นเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยที่มีการถ่วงน้ำหนัก ให้ยึดน้ำหนักของแต่ละตัวเป็นหลัง

ในข้อนี้

• คณิตศาสตร์ ให้น้ำหนัก 2.5$2.5$ เวลาเราเอามาคิดค่าเฉลี่ยต้องมองเหมือนมีเกรดของคณิตอยู่ 2.5$2.5$ ตัว ซึ่งจะได้ผลรวมของวิชานี้คือ (2.5)⋅(3.0)=7.5$(2.5)\cdot (3.0)=7.5$
• ภาษาไทย ให้น้ำหนัก 2$2$ เราก็จะคิดว่ามีเกรดวิชานี้ 2$2$ ตัว ซึ่งได้ผลรวมของวิชานี้คือ 2⋅(4.0)=8.0$2\cdot (4.0)=8.0$
• วิทยาศาสตร์ ให้น้ำหนัก 2.5$2.5$ แสดงว่ามีวิทย์ 2.5$2.5$ ตัว ได้ผลรวม (2.5)⋅(3.5)=8.75$(2.5)\cdot (3.5)=8.75$
• ศิลปะ ให้น้ำหนัก 1$1$ งั้นก็มีศิลปะแค่ตัวเดียว ได้ผลรวมเป็น 1⋅(4.0)=4.0$1\cdot (4.0)=4.0$

จากด้านบนเราจะสามารถหาผลรวมได้แล้ว แต่ตอนนี้ปัญหาคือเราจะเอาผลรวมที่ได้หารด้วยอะไร

ในเมื่อเราบอกว่าจำนวนตัวของแต่ละวิชาคือน้ำหนักที่ให้ 

ดังนั้นตัวหารจะไม่ใช่ 4$4$ แต่ต้องเป็นผลรวมของน้ำหนักทั้งหมดแทน

จะได้

เกรดเฉลี่ย====(2.5)⋅(3.0)+2⋅(4.0)+(2.5)⋅(3.5)+1⋅(4.0)2.5+2+2.5+17.5+8.0+8.75+4.0828.2283.53$$\begin{array}{rcl}\text{เกรดเฉลี่ย}& =& \frac{(2.5)\cdot (3.0)+2\cdot (4.0)+(2.5)\cdot (3.5)+1\cdot (4.0)}{2.5+2+2.5+1}\\ & =& \frac{7.5+8.0+8.75+4.0}{8}\\ & =& \frac{28.22}{8}\\ & =& 3.53\end{array}$$

เกรดเฉลี่ย คือ 3.53$3.53$ 

กำหนดให้ข้อมูลคือ x1,x2,x3,⋯,xn$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n$ โดยที่แต่ละตัวมีน้ำหนักคือ w1,w2,w3,⋯,wn$w_1,w_2,w_3,\cdots ,w_n$ ตามลำดับ จะได้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต=x1w1+x2w2+x3w3+⋯+xnwnw1+w2+w3+⋯+wn$$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิต}=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+x_3{w}_3+\cdots +x_n{w}_n}{w_1+w_2+w_3+\cdots +w_n}$$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ใช้ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลมากกว่าหนึ่งชุด โดยที่ข้อมูลที่เรารู้คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุด และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุด

กำหนดให้ x1¯,x2¯,x3¯,⋯,xk¯$\overline{x_1},\overline{x_2},\overline{x_3},\cdots ,\overline{x_k}$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1,2,3,⋯,k$1,2,3,\cdots ,k$ ตามลำดับ และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุดคือ n1,n2,n3,⋯,nk$n_1,n_2,n_3,\cdots ,n_k$ ตามลำดับ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม=x1¯n1+x2¯n2+x3¯n3+⋯+xk¯nkn1+n2+n3+⋯+nk$$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม}=\frac{\overline{x_1}{n}_1+\overline{x_2}{n}_2+\overline{x_3}{n}_3+\cdots +\overline{x_k}{n}_k}{n_1+n_2+n_3+\cdots +n_k}$$

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

นักเรียนห้องหนึ่ง มีนักเรียนหญิง 23$23$ คน นักเรียนชาย 32$32$ คน จากข้อมูลความสูงจะได้ว่า ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนหญิงคือ 159.8$159.8$เซนติเมตร และความสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายคือ 165.3$165.3$ จงหาความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้

จากโจทย์จะได้ว่ามีข้อมูล 2$2$ ชุด

ชุดที่ 1$1$ คือข้อมูลของนักเรียนหญิง จะได้ x1¯=159.8$\overline{x_1}=159.8$ และ n1=23$n_1=23$

ชุดที่ 2$2$ คือข้อมูลของนักเรียนชาย จะได้ x2¯=165.3$\overline{x_2}=165.3$ และ n2=32$n_2=32$

จากข้อมูลทั้ง 2$2$ ชุดจะได้

ความสูงเฉลี่ย====159.8⋅23+165.3⋅3223+323675.4+5289.655896555163$$\begin{array}{rcl}\text{ความสูงเฉลี่ย}& =& \frac{159.8\cdot 23+165.3\cdot 32}{23+32}\\ & =& \frac{3675.4+5289.6}{55}\\ & =& \frac{8965}{55}\\ & =& 163\end{array}$$

ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้คือ 163$163$ เซนติเมตร 

อ้างอิง : https://www.opendurian.com/learn/arithmetic_mean/